Ley de signos
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Ley de signos
Multiplicación y división
| Signo × Signo | Resultado | Ejemplo |
|---|---|---|
| (+) × (+) | + | 3 × 4 = 12 |
| (−) × (−) | + | (−3) × (−4) = 12 |
| (+) × (−) | − | 3 × (−4) = −12 |
| (−) × (+) | − | (−3) × 4 = −12 |
Signos iguales → positivo. Signos diferentes → negativo. (Igual para la división)
Suma y resta con signos — recta numérica interactiva
−5 + (−3) = −8 → mismo signo, se suman valores y se mantiene el signo
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Jerarquía de operaciones
Orden a seguir
- ( ), [ ], { }
- Potencias y raíces
- Multiplicación y división (izq. a der.)
- Suma y resta (izq. a der.)
Ejemplo: 3 + 2 × (5 − 1)² ÷ 4 — Ver solución
= 3 + 2 × (4)² ÷ 4
= 3 + 2 × 16 ÷ 4
= 3 + 32 ÷ 4
= 3 + 8 = 11
= 3 + 2 × 16 ÷ 4
= 3 + 32 ÷ 4
= 3 + 8 = 11
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Términos semejantes
Misma parte literal (misma letra y mismo exponente). Solo se suman/restan los coeficientes.
3x + 5x = 8x ✅ 3x + 5x² ❌ (exponentes distintos) 3xy + 2xy = 5xy ✅
Ejemplo: 5x + 3y − 2x + 7y — Ver solución
= (5x − 2x) + (3y + 7y)
= 3x + 10y
= 3x + 10y
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Leyes de exponentes
| Ley | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Mult. bases iguales | am×an=am+n | x³×x²=x⁵ |
| División bases iguales | am÷an=am−n | x⁵÷x²=x³ |
| Potencia de potencia | (am)n=am×n | (x²)³=x⁶ |
| Exponente cero | a⁰=1 (a≠0) | 5⁰=1 |
| Exponente negativo | a⁻ⁿ=1/an | 2⁻³=1/8 |
| Potencia de un producto | (ab)n=anbn | (2x)³=8x³ |
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Signos de agrupación
- Antes del paréntesis hay + → los signos internos no cambian.
- Antes del paréntesis hay − → los signos internos se invierten.
Ejemplo: 3x − (2x − 5) — Ver solución
= 3x − 2x + 5 = x + 5
Anidados: de adentro hacia afuera → { } → [ ] → ( )
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Ecuaciones lineales simples
Lo que hace una operación en un lado, pasa como operación inversa al otro lado (+↔−, ×↔÷).
Ejemplo: 2x + 5 = 13 — Ver solución
2x = 13 − 5 = 8
x = 8 ÷ 2 = 4
Comprobación: 2(4) + 5 = 13 ✅
x = 8 ÷ 2 = 4
Comprobación: 2(4) + 5 = 13 ✅
6.1
Sistemas de dos ecuaciones lineales
Dos ecuaciones con las mismas dos incógnitas (x, y). Resolver el sistema = hallar el par (x, y) que cumple ambas a la vez.
x + y = 10
x − y = 4
x − y = 4
Método A
Reducción — suma o resta de ecuaciones
La idea: sumar o restar las dos ecuaciones completas para que una variable se elimine.
| Coeficientes de una variable | Operación |
|---|---|
| Opuestos (uno +, uno −, mismo valor) | se suman las ecuaciones |
| Iguales (mismo signo y valor) | se restan las ecuaciones |
| Distintos | se multiplica primero para igualarlos u oponerlos |
Ejemplo 1: coeficientes ya opuestos — Ver solución
x + y = 10
x − y = 4
—— (se suman)
2x = 14 → x = 7
7 + y = 10 → y = 3
Solución: x = 7, y = 3
x − y = 4
—— (se suman)
2x = 14 → x = 7
7 + y = 10 → y = 3
Solución: x = 7, y = 3
Ejemplo 2: hay que igualar antes — Ver solución
3x + 2y = 16
x + y = 7 (×2) → 2x + 2y = 14
—— (se restan, 2y ya es igual)
x = 2 → y = 7 − 2 = 5
Solución: x = 2, y = 5
x + y = 7 (×2) → 2x + 2y = 14
—— (se restan, 2y ya es igual)
x = 2 → y = 7 − 2 = 5
Solución: x = 2, y = 5
Método B
Sustitución
- Despeja una variable en la ecuación más simple
- Sustitúyela en la otra ecuación
- Resuelve (queda 1 incógnita)
- Reemplaza para hallar la otra variable
Ejemplo: x + y = 10, x − y = 4 — Ver solución
x = 10 − y
(10 − y) − y = 4
10 − 2y = 4 → y = 3
x = 10 − 3 = 7
(10 − y) − y = 4
10 − 2y = 4 → y = 3
x = 10 − 3 = 7
Método C
Igualación
- Despeja la misma variable en ambas ecuaciones
- Iguala las dos expresiones
- Resuelve la ecuación resultante
- Reemplaza para hallar la otra variable
Ejemplo: x + y = 10, x − y = 4 — Ver solución
x = 10 − y | x = 4 + y
10 − y = 4 + y
6 = 2y → y = 3
x = 10 − 3 = 7
10 − y = 4 + y
6 = 2y → y = 3
x = 10 − 3 = 7
📈 Método gráfico: cada ecuación es una recta; la solución es el punto donde ambas rectas se cruzan.
🧭 ¿Cuál conviene usar? reducción si los coeficientes ya son (o son fáciles de volver) iguales u opuestos · sustitución si una variable ya está despejada o tiene coeficiente 1 · igualación si es fácil despejar la misma variable en ambas ecuaciones.
🧭 ¿Cuál conviene usar? reducción si los coeficientes ya son (o son fáciles de volver) iguales u opuestos · sustitución si una variable ya está despejada o tiene coeficiente 1 · igualación si es fácil despejar la misma variable en ambas ecuaciones.
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Traducción de lenguaje verbal
| Frase | Expresión |
|---|---|
| Un número aumentado en 5 | x + 5 |
| El doble de un número | 2x |
| La mitad de un número | x/2 |
| Un número disminuido en 3 | x − 3 |
| El triple de un número, menos 4 | 3x − 4 |
| Suma de dos números consecutivos | x + (x + 1) |
| El cuadrado de un número | x² |
🔑 Tip: si notas que fallan en ley de signos, refuerza primero con la recta numérica antes de operar solo con letras.
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